
\documentclass{article}
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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {B1. VI.  FONCTIONS USUELLES}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


$\fbox{{\Large FONCTIONS R\'{E}CIPROQUES}}$

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par $f\left( x\right) =x^{3}-3x.$

\begin{enumerate}
\item Etudier et tracer la courbe.

\item Donner l'intervalle maximal contenant $0$ , $I,$ sur lequel $f$ est
injective ; on note $f^{-1}$ la fonction r\'{e}ciproque de la restriction de 
$f$ \`{a} $I$ ; quel est l'ensemble de d\'{e}finition de $f^{-1}?$ Tracer la
courbe de $f_{|I}$ et de $f^{-1}.$

\item Sur quel intervalle $f^{-1}$ est-elle d\'{e}rivable ? Calculer $\left(
f^{-1}\right) ^{\prime }\left( y\right) $ pour $y$ dans cet intervalle.

\item Donner les valeurs exactes de $f^{-1}\left( 0\right) ,\left(
f^{-1}\right) ^{\prime }\left( 0\right) ,f^{-1}\left( -\dfrac{11}{8}\right)
,\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( -\dfrac{11}{8}\right) $ , et des
valeurs approch\'{e}es de $f^{-1}\left( 1\right) ,\left( f^{-1}\right)
^{\prime }\left( 1\right) .$
\end{enumerate}

\item Soit $f$ une application $\mathbb{R}\mathbf{\rightarrow }\mathbb{R}$
injective, $f^{-1}$ sa fonction r\'{e}ciproque ; d\'{e}terminer $%
g^{-1}\left( x\right) $ dans les cas suivants :

\begin{enumerate}
\item $g\left( x\right) =f\left( x\right) +a$

\item $g\left( x\right) =f\left( x+a\right) $

\item $g\left( x\right) =af\left( x\right) $ avec $a\neq 0$

\item $g\left( x\right) =f\left( ax\right) $ avec $a\neq 0$

\item $g\left( x\right) =f\left( e^{x}\right) $

\item A quel cas g\'{e}n\'{e}ral les cas (b),(d),(e) appartiennent-ils ? Et
les cas (a) et (c)?
\end{enumerate}

\item On pose $f\left( x\right) =\sqrt[3]{1-x^{3}}.$V\'{e}rifier que $f$ est
bijective et donner $f^{-1}.$ En d\'{e}duire une sym\'{e}trie de la courbe
de $f.$

$\fbox{{\Large FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, PUISSANCES}}$

\item : Montrer les petites formules :

\begin{enumerate}
\item $a^{\ln b}=b^{\ln a}$ et plus g\'{e}n\'{e}ralement : $a^{\log
_{c}b}=b^{\log _{c}a}.$

\item $\log _{x}10=\dfrac{1}{\log x}$ et plus g\'{e}n\'{e}ralement $\log
_{b}a=\dfrac{1}{\log _{a}b}.$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Trouver une formule donnant le nombre de chiffres d'un entier
strictement positif $N$ en \'{e}criture d\'{e}cimale (ou le nombre de
chiffres avant la virgule d'un r\'{e}el \TEXTsymbol{>} 0).

\item Appliquer cette formule \`{a} $2^{74~207~281}-1$; ce nombre est un
nombre premier de Mersenne, le plus grand nombre premier actuellement connu
(d\'{e}couvert en janvier 2016).

Rep : 22 338 618 chiffres.

\item Appliquer \'{e}galement \`{a} $e^{e^{e^{e}}}$ et \`{a} $500!$.

Rep : 1 656 521 et 1135.
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Avec un taux d'inflation de $2\%$ par an, au bout de combien d'ann\'{e}%
es les prix auront-ils doubl\'{e}s ?

\item Les prix ont doubl\'{e} depuis $12$ ans. Quel est le taux d'inflation
moyen annuel ?

\item Trouver un parall\`{e}le entre le r\'{e}sultat du b) et la d\'{e}%
finition des $\frac{1}{2}$ tons en musique (il y en a 12 dans une octave, et
dans une octave, la fr\'{e}quence est multipli\'{e}e par $2).$

\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\begin{tabular}{l}
solution (erron\'{e}e) \\ 
par proportionnalit\'{e}%
\end{tabular}
& $\dfrac{100}{12}\%\approx 8,3\%$ \\ \hline
solution exacte & $100\left( \sqrt[12]{2}-1\right) \%\approx 5,9\%$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\item :%
\begin{equation*}
\FRAME{itbpF}{4.2756in}{1.7979in}{0pt}{}{}{Figure}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "T";width 4.2756in;height 1.7979in;depth
0pt;original-width 4.2246in;original-height 1.7608in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
'OD1DQC00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}
\end{equation*}%
Pouvez vous-corriger (cf. Figure1) , soit le 30\%, consid\'{e}rant exact le
pourcentage annuel de 6\%, soit les 6\%, consid\'{e}rant exact le
pourcentage de 30\%

\item : D\'{e}terminer la limite des expressions suivantes quand $%
x\rightarrow 0$ :

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\ln \left( 1+x\right) }{\sqrt{x}}$

\item $\dfrac{\ln \left( 1+x\right) }{x^{2}+x}$

\item $\dfrac{\ln \left( 1+x+x^{2}\right) }{x^{2}}$
\end{enumerate}

\item D\'{e}terminer la limite des expressions suivantes quand $x\rightarrow 
$ $0$ :

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{e^{\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}}$

\item $\dfrac{e^{4x^{2}}-1}{x^{2}-4x}$

\item $\dfrac{e^{x+1}-1}{x^{2}-x}$

\item $\dfrac{e^{x+1}-e}{x}$

\item $\dfrac{e^{\ln \left( x+1\right) }-1}{2x}$
\end{enumerate}

Rep : (a)$1$ (b)$0$ (c)$\mp \infty \ \ $(d)$e\ \ $(e)\ \ $1/2$

\item : D\'{e}terminer la limite des expressions suivantes quand $%
x\rightarrow $ $+\infty $ :

\begin{enumerate}
\item $x\left( e^{\frac{1}{x}}-1\right) $

\item $x\left( e^{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x}}\right) $

\item $x\left( e^{\frac{1}{x^{2}}}-e^{\frac{1}{x}}\right) $
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer la limite quand $x\rightarrow $ $+\infty $ des
expressions suivantes :

Conseil : commencer par d\'{e}terminer la limite du logarithme de
l'expression.

\begin{enumerate}
\item $\left( 1+\dfrac{a}{x}\right) ^{bx}$

\item $\left( 1+\dfrac{2}{x}\right) ^{3x-2}$

\item $\left( \dfrac{x+1}{x-1}\right) ^{x}$

\item $\left( \dfrac{2x-1}{x+1}\right) ^{x}$

\item $\left( \dfrac{x+3}{x-1}\right) ^{x+2}$

\item $\left( \dfrac{3x-4}{3x+2}\right) ^{\frac{x+1}{2}}$

\item $\left( \dfrac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-4x+2}\right) ^{x}$
\end{enumerate}

\item : Trouver des fonctions $a$ et $b$ avec $\underset{x\rightarrow
+\infty }{\lim }a(x)=$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }b(x)=0$ et
telles que :

\begin{enumerate}
\item $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\left( a\left( x\right)
\right) ^{b\left( x\right) }\in ]0,1[$

\item $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\left( a\left( x\right)
\right) ^{b\left( x\right) }=0$
\end{enumerate}

Retenez donc que la forme ind\'{e}termin\'{e}e $"0^{0}"$ n'est pas toujours 
\'{e}gale \`{a} $1...$

\item \'{E}tudier compl\`{e}tement les fonctions en moins de $10$ minutes
(trac\'{e} compris).

\begin{enumerate}
\item $f:x\mapsto \dfrac{1}{\ln x}$

\item $f:x\mapsto x\ln x$

\item $f:x\mapsto \dfrac{\ln x}{x}$

\item $f:x\mapsto \dfrac{e^{x}}{x}$

\item $f:x\mapsto x\ln x+\left( 1-x\right) \ln \left( 1-x\right) $

\item $f:x\mapsto x^{x}$
\end{enumerate}

\item \'{E}tudier et tracer les courbes des fonctions $f$ d\'{e}finies par $%
f\left( x\right) =e^{1/x},g\left( x\right) =xf\left( x\right) ,h\left(
x\right) =f\left( x\right) /x.$

\item * : \'{E}tudier et tracer la courbe d'\'{e}quation cart\'{e}sienne : $y%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
=x%
%TCIMACRO{\U{b2}}%
%BeginExpansion
{{}^2}%
%EndExpansion
\ln \dfrac{1}{x}.$

\item * : Ayant trac\'{e} la courbe de $f$ et celle de $g$ dans un m\^{e}me
rep\`{e}re, donner une m\'{e}thode pour construire points par points celle
de $g\circ f$ ; appliquer au trac\'{e} de $y=e^{-x^{2}}.$

\item * :

\begin{enumerate}
\item En posant $y=tx,$ d\'{e}terminer une param\'{e}trisation de l'ensemble 
$E=\left\{ \left( x,y\right) \in \left( \mathbb{{R}_{+}^{\ast }}\right)
^{2}\;/\text{\ }x^{y}=y^{x}\right\} $ sous la forme : $\left\{ 
\begin{array}{l}
x=\varphi (t) \\ 
y=t\varphi (t)%
\end{array}%
\right. .$

\item Tracer $E$ \`{a} l'aide de la machine.

\item D\'{e}terminer les points $\left( x,y\right) $ de $E$ tels que $x\neq
y $ et $x,y\in \mathbb{N}.$

\item Hachurer sur la figure l'ensemble $F=\left\{ \left( x,y\right) \in
\left( \mathbb{{R}_{+}^{\ast }}\right) ^{2}~/\ x~^{y}>y^{x}\right\} .$
\end{enumerate}

\item : On rappelle que pour tout $x>-1\ \ \ \ln \left( 1+x\right) \leqslant
x.$

\begin{enumerate}
\item En d\'{e}duire que pour tout $x>0$ : $\dfrac{1}{x+1}\leqslant \ln
\left( 1+\dfrac{1}{x}\right) \leqslant \dfrac{1}{x}.$

\item En d\'{e}duire que pour tout $x>0$ : $\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)
^{x}\leqslant e\leqslant \left( 1+\dfrac{1}{x}\right) ^{x+1}.$

\item En d\'{e}duire, en effectuant un produit d'in\'{e}galit\'{e}s du b)
que pour tout entier $n\geqslant 1$ : 
\begin{equation*}
\dfrac{\left( n+1\right) ^{n}}{n!}\leqslant e^{n}\leqslant \dfrac{\left(
n+1\right) ^{n+1}}{n!}
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire un encadrement de $n!$

$\fbox{{\Large FONCTIONS HYPERBOLIQUES}}$
\end{enumerate}

\item : Montrer que si $e^{z}=\dfrac{\cos \left( x-y\right) }{\cos \left(
x+y\right) },$ alors th $\dfrac{z}{2}=\tan x\tan y$ et coth$z=\dfrac{1}{2}%
\left( \tan x\tan y+\cot x\cot y\right) .$

\item : Montrer que si $AB>0$ alors il existe $a,b$ tels que $%
Ae^{x}+Be^{-x}=a$ch $\left( x+b\right) $ et que si $AB<0$ alors il existe $%
a,b$ tels que $Ae^{x}+Be^{-x}=a$sh $\left( x+b\right) .$

\item : On pose $C_{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}$ch $\left(
a+kb\right) ,S_{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}$sh $\left( a+kb\right)
.$

Calculer $C_{n}+S_{n};$ en d\'{e}duire sans calcul $C_{n}-S_{n}$, puis $%
C_{n} $ et $S_{n}.$

On trouve, si $b\neq 0$ : $C_{n}+S_{n}=\dfrac{\text{sh}\left( \left(
n+1\right) \dfrac{b}{2}\right) }{\text{sh }\dfrac{b}{2}}e^{a+n\tfrac{b}{2}}.$

\item :

\begin{enumerate}
\item On pose $p_{n}(x)=\overset{n}{\underset{k=1}{\prod }}$ch$\dfrac{x}{%
2^{k}};$ calculer $p_{n}(x)$ pour $x\neq 0$ en le multipliant par sh $\dfrac{%
x}{2^{n}}$.

\item On pose $p(x)=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }p_{n}(x)$ ; d\'{e}%
terminer $p(x)$ pour $x$ $\neq 0$ ; v\'{e}rifier que $\underset{\underset{%
x\neq 0}{x\rightarrow 0}}{\lim }p(x)=p(0).$

\item On pose $u_{n}=\dfrac{1}{2^{n}}\overset{n}{\underset{k=0}{\prod }}%
\left( \text{ch}\dfrac{x}{2^{k}}+\text{ch}\dfrac{y}{2^{k}}\right) ;$ montrer
que $u_{n}=2p_{n+1}\left( x+y\right) p_{n+1}\left( x-y\right) $ ; en d\'{e}%
duire $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}.$
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item Discuter suivant la valeur du param\`{e}tre $\lambda ,$ le nombre de
solutions de l'\'{e}quation ch $x=\lambda x,$ et donner une valeur approch%
\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s de la valeur critique de $\lambda .$

\item On appelle cha\^{\i}nette d'axe $\left( Ox\right) $ toute courbe d'%
\'{e}quation $y=a.$ch $\dfrac{x}{a},$ avec $a>0.$ Par quelle transformation g%
\'{e}om\'{e}trique passe-t-on d'une cha\^{\i}nette \`{a} une autre ?

\item Etant donn\'{e}s les points $A\left\vert 
\begin{array}{c}
r \\ 
R%
\end{array}%
\right. $ et $A^{\prime }\left\vert 
\begin{array}{c}
-r \\ 
R%
\end{array}%
\right. $ avec $r,R>0,$ d\'{e}terminer une condition pour qu'il passe une cha%
\^{\i}nette par $A$ et $A^{\prime }.$\ 
\end{enumerate}

$\fbox{{\Large FONCTIONS CIRCULAIRES R\'{E}CIPROQUES}}$

\item : D\'{e}finir la fonction $\func{arccot}$, r\'{e}ciproque de $\cot $
sur $]0,\pi \lbrack $. Calculer sa d\'{e}riv\'{e}e, tracer sa courbe.

V\'{e}rifier que $\forall x\in \mathbb{{R}\;}\func{arccot}x=\dfrac{\pi }{2}%
-\arctan x$.

\item : Tracer les courbes des fonctions suivantes $f,g,h,k,l,m$ suivantes :

\begin{enumerate}
\item $f\left( x\right) =\cos \left( \arccos x\right) $ et $g\left( x\right)
=\arccos \left( \cos x\right) $ (indication : $g\left( x+2\pi \right)
=...,g\left( -x\right) =...)$

\item $h\left( x\right) =\sin \left( \arcsin x\right) $ et $k\left( x\right)
=\arcsin \left( \sin x\right) \;$(indication : $k\left( x+\pi \right) =...)$

\item $l(x)=\tan \left( \arctan x\right) $ et $m\left( x\right) =\arctan
\left( \tan x\right) $
\end{enumerate}

\item : D\'{e}montrer les identit\'{e}s suivantes :

Pour tout $x\in \left[ -1,1\right] $ $:$

\begin{enumerate}
\item $\sin \left( \arccos x\right) =\sqrt{1-x^{2}}$ et $\cos \left( \arcsin
x\right) =\sqrt{1-x^{2}}$

\item $\tan \left( \arccos x\right) =\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$ pour $x\neq
0 $ et $\tan \left( \arcsin x\right) =\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ pour $%
\left\vert x\right\vert \neq 1.$

Pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

\item $\cos \left( \arctan x\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$ et $\sin
\left( \arctan x\right) =\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.$
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer l'ensemble de d\'{e}finition, puis simplifier les
expressions suivantes :

\begin{enumerate}
\item $f\left( x\right) =\arccos \left( \dfrac{1-x}{1+x}\right) $

\begin{enumerate}
\item m\'{e}thode 1 : poser $\theta =\arccos \left( \dfrac{1-x}{1+x}\right) $
et exprimer $x$ en fonction de $\theta $, simplifier, puis exprimer de
nouveau $\theta $ en fonction de $x$ ;

\item m\'{e}thode 2 : remarquer que $\cos \theta =\dfrac{1-\tan ^{2}\dfrac{%
\theta }{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{\theta }{2}}$ et donc poser $\theta =...$ de
sorte que $x=\tan ^{2}\dfrac{\theta }{2}$ ;

\item m\'{e}thode 3 : calculer $f^{\prime }\left( x\right) $ et en d\'{e}%
duire $f\left( x\right) .$
\end{enumerate}

\item $f\left( x\right) =\arctan \left( \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\right) $
(indication pour la m\'{e}thode 2 : $\dfrac{1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }%
=...)$

\item $f\left( x\right) =\arctan \left( \dfrac{1}{2}\left( x-\dfrac{1}{x}%
\right) \right) $ (indication pour la m\'{e}thode 2 : $\tan \theta -\cot
\theta =...)$

\item $f\left( x\right) =\arctan \left( \sqrt{1+x^{2}}-x\right) $
(indication pour la m\'{e}thode 2 : $1+\tan ^{2}\theta =...)$

\item $f\left( x\right) =\arcsin \left( \dfrac{1+x}{\sqrt{2\left(
1+x^{2}\right) }}\right) $
\end{enumerate}

\item : On donne deux entiers $p$ et $q$ v\'{e}rifiant : $0<p<q.$

\begin{enumerate}
\item Calculer $\arctan \dfrac{p}{q}+\arctan \dfrac{q-p}{q+p}$.

\item Calculer $4\arctan \dfrac{1}{5}$ et \`{a} l'aide de la question pr\'{e}%
c\'{e}dente en d\'{e}duire la formule de Machin (John Machin, 1680-1751) : 
\begin{equation*}
\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item * : Le plan \'{e}tant rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re othonorm\'{e} $%
\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) ,$ on marque $A\left(
-1,0\right) ,B\left( 1,0\right) $ et on se donne un point $M\left(
x,y\right) $ ; on demande de d\'{e}terminer en fonction de $x,$ la valeur de 
$y>0$ pour laquelle l'angle $AMB$ est maximal ($x$ \'{e}tant fix\'{e}).
Notant $f(x)$ la valeur de $y$ trouv\'{e}e, \'{e}tudier $f$ et tracer sa
courbe ; interpr\'{e}ter ce r\'{e}sultat dans le domaine du foot ou du rugby.

\fbox{{\Large FONCTIONS HYPERBOLIQUES R\'{E}CIPROQUES}}

\item : Tracer les courbes de :

\begin{enumerate}
\item $x\mapsto $ch$\left( \text{argch }x\right) $ et $x\mapsto $argch$%
\left( \text{ch }x\right) $

\item $x\mapsto $sh$\left( \text{argsh }x\right) $ et $x\mapsto $argsh$%
\left( \text{sh}x\right) $

\item $x\mapsto $th$\left( \text{argth }x\right) $ et $x\mapsto $argth$%
\left( \text{th }x\right) $
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Prouver pour tout $x\in \lbrack 1,+\infty \lbrack $ : sh$\left( \text{%
argch }x\right) =\sqrt{x^{2}-1}$ et th$\left( \text{argch }x\right) =\dfrac{%
\sqrt{x^{2}-1}}{x}.$

\item Prouver pour tout $x\in \mathbb{R}$ : ch$\left( \text{argsh }x\right) =%
\sqrt{1+x^{2}}$ et th$\left( \text{argsh }x\right) =\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}%
.$

\item Prouver pour tout $x\in \left] -1,1\right[ $ : ch$\left( \text{argth\ }%
x\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ et sh$\left( \text{argth\ }x\right) =%
\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.$
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier pour tout $x\in \left] -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2}%
\right[ $ les identit\'{e}s suivantes : 
\begin{align*}
\ln \left( \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right) \right) & =\ln
\left( \tan x+\frac{1}{\cos x}\right) \\
& =\text{argsh}\left( \tan x\right) =\text{signe}\left( x\right) \times 
\text{argch}\left( \dfrac{1}{\cos x}\right) =\text{argth}\left( \sin
x\right) =2\text{argth}\left( \tan \frac{x}{2}\right)
\end{align*}%
La fonction qui \`{a} $x$ associe ces expressions s'appelle fonction de
Gudermann inverse et on la note gd$^{-1}$.

\item Calculer $\left( \text{gd}^{-1}\right) ^{\prime }\left( x\right) $ ;
tracer la courbe de gd$^{-1}.$ \newline
\textit{Remarque : cette fonction intervient en cartographie de la fa\c{c}on
suivante : dans la projection de Mercator, on pose : }$\left( 
\begin{array}{c}
x=\text{longitude} \\ 
y=\text{gd}^{-1}(\text{latitude)}%
\end{array}%
\right) .$

\item Apr\`{e}s en avoir justifi\'{e} son existence, donner l'ensemble de d%
\'{e}finition de la r\'{e}ciproque gd de gd$^{-1}$; en calculer la d\'{e}riv%
\'{e}e.\newline
V\'{e}rifier : gd$\left( x\right) =2\arctan e^{x}-\dfrac{\pi }{2}=\arctan
\left( \text{sh }x\right) =$signe$\left( x\right) \times \arccos \left( 
\dfrac{1}{\text{ch }x}\right) =\arcsin \left( \text{th }x\right) =2\arctan
\left( \text{th}\dfrac{x}{2}\right) .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
